5 Nisan 2014 Cumartesi

Matematik ve Asal Sayılar

Matematik ve Asal Sayılar

          Günümüzde her ne kadar farkında olamasakta her ne kadar farkındalık yaratmadığını düşünsekte aslında matematik  biz farkına varmadan hayatımızı sekillendirmeye ve hayatımıza yön vermeye devam ediyor ve bu huyunu sonsuza kadar da bırakacak gibi gözükmüyor. matematik evreni tüm bunları gerçeklişterecek potansiyele sahip ama  bu evreni anlamak ve anlamaya çalışmak hiçte kolay  değil. İlk baslarda sıkılırsınız bunalırsınız genelde matematikle ilk okul sıralarında karşılasırsınız ama daha sonra ortaokul daha sonra lise yavaş yavaş bu evrene istesenizde istemesenizde illaki girersiniz yada girdirilirsiniz. ama sıkıntınız bunalımınız çok yersiz bunu sizde anlayacaksınız zamanla.. İste bu dünyanın en önemli en önemli evreninden ufak bir konu sunacağım asal sayılar...
          Asal sayılar  , sadece iki pozitif tamsayı böleni olan doğal sayılarsır. Asal sayılar, sadece kendisi ve 1 sayısına bölünebilen 1'den büyük pozitif tam sayılar biçiminde de tanımlanabilir. Öklid'den beri asal sayıların sonsuz olduğu kabul edilir. Bu bilgide ilk başta söylediklerimizin ne kadar doğru olduğunu gösterir. Öte yandan asal sayılar hakkındaki pek çok soru günümüzde hâlâ cevaplanamamaktadır. al sana bi tuhaflık daha ama artık yavaş yavaş alıştırın kendinizi. Asırlardır asal sayılar üzerinde birçok teorem ortaya atılmış, asal sayıların bulunması için çeşitli formüller üretilmeye çalışılmıştır. Fakat bunların hepsinin yanlış olduğu kanıtlanmıştır. Bi tuhaflık daha. Günümüzde asal sayıları veren bir matematik formülü bulunmamaktadır.  Sayılar Teorisi'nin en önemli uğraşısı asal sayılar hakkındaki bu tür sorulardır. Asal sayılar ayrıca kriptografi alanının da yapı taşlarıdır.galiba biraz zorlanmaya başladık ama daha yeni başlıyoruz. Bu bağlamda artık konunun derinliğine inelim.
    
                                                                                                                                                                      [Kriptografi, gizlilik, kimlik denetimi, bütünlük gibi bilgi güvenliği kavramlarını sağlamak için çalışan matematiksel yöntemler bütünüdür. Bu yöntemler, bir bilginin iletimi esnasında karşılaşılabilecek aktif ya da pasif ataklardan bilgiyi -dolayısıyla bilgi ile beraber bilginin göndericisi ve alıcısını da- koruma amacı güderler.
Bir başka deyişle kriptografi, okunabilir durumdaki bir bilginin istenmeyen taraflarca okunamayacak bir hale dönüştürülmesinde kullanılan tekniklerin tümü olarak da gösterilir.]                                                                                                                                                                           

Asal Sayı Nedir ?

  Asal Sayı Nedir ?                                                                                                   
Asal sayılar  sadece kendisi ve 1 sayısına bölünebilen 1'den büyük pozitif tam sayılar biçiminde tanımlanırlar. Asal sayıların 1 ve kendisinden başka tam böleni yokturasal sayı Yani aslına bakarsak bu sayılar diğerlerinden farklı                                                                                                                            *  Örneğin; 5 sayısı 3' e ya da 2'ye tam bölünmez. Sadece 1'e ve kendisine tam bölünebilir o yüzden 5 asaldır.                                                                                                                                          * 1' den 100' e kadar olan asal sayılar şunlardır: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 ve 97' dir.  isterseniz birde tablo şeklinde inceleyelim.


Asal Oturanlar Ve ''1'' Sayısı

   Asal Oturanlar Ve ''1'' Sayısı
       Farkındaysanız konumuz yavaş yavaş şekillenmeye başladı umarım dikkatli bir şekilde dinliyor ve kendinizi konuya veriyorsunuzdur yoksa kafanız fazlaca bulanabilir neyse konumuza devam edelim Aritmetiğin temel teoremi 1'den büyük tüm tam sayıların asal sayıların çarpımları şeklinde yazılabileceğini, üstelik yazımın da yalnız bir şekilde (teklik) olacağını söyler ( asal çarpanların değişik sıralanması hariç). Bir sayının asal çarpanlara ayrılmasında bir asal sayı birden fazla tekrar edebilir. Dolayısıyla asal sayılar, doğal sayıların "temel inşa taşları" olarak düşünülebirlir. Aslına bakarsanız bu tanım biraz kafanızı karıştırabilir sadece anlatmak gerekirse asal sayıların aslında doğal sayıların oluşumunda önemli bir etkene sahip olduğunu söylüyor mesela 3 asal sayısını 1 ile carparsak 1 elde edriz mesela 4 ile 3  ü çarparsak 12 yi elde ederiz böyle böyle doğal sayılar oluşur umarım anlatabildim.   
  1 sayısına gelince  1 sayısı günümüzde ne asal ne de bileşik kabul edilir ve özel bir durumu vardır. Geçmişte pek çok matematikçi 1'i asal sayı olarak kabul ediyorlardı. 1'in asal olarak kabul edilmesine dayanarak yapılan birçok çalışma geçerliliğini hâlâ sürdürmektedir: Stern ve Zeisel'in çalışmaları vs.. Henri Lebesgue, çalışmalarında 1'i asal olarak ele alan son profesyonel matematikçi olarak bilinir. 1 asal olarak ele alındığında bazı teoremlerde değişikliğe gidilmesi gerekir. Örneğin tüm pozitif tam sayıların "yalnız bir şekilde" asal sayıların çarpımları şeklinde yazılabileceğini söyleyen Aritmetiğin temel teoremi, geçmişteki asal sayı tanımına göre geçerli değildir

İkiz Asallar

  İkiz Asallar                                                                                                                                                    
İkiz asallar, aralarındaki fark 2 olan asal sayılar. Örneğin 3-5, 5-7, 11-13 ikiz asallardır. 2-3 çifti hariç iki asal sayı arasındaki fark da zaten en az 2 olabilir.
İkiz asalların sonsuz tane olmasına ilişkin soru , sayılar kuramının yıllardır çözülememiş en büyük problemlerinden birisidir ve "ikiz asallar sanısı ( varsayımı, kestirimi) olarak adlandırılır. "Hardy-Littlewood sanısı" ikiz asalların dağılımı üzerine "asal sayılar teoremi" ne benzer bir varsayımda bulunur. Biraz konuyu derinleştirelim ve bakalım neler olacak .Viggo Brun, ünlü " eleme metoduyla" bir x sayısından küçük ikiz asal sayıların sayısının, x/(log)2 den küçük olduğunu göstermiştir. Bu sonuç da bütün ikiz asal sayı çiftler toplamının yakınsak olduğunu göstermektedir (bakınız Brun sabiti). Bu tüm asal sayı çiftlerinin toplamının ıraksadığına terstir (p ve p' asal sayılar ve k bir doğal sayı olmak üzere p-p'=2k, bu genellemeden k=1 için ikiz asallar varsayımına gidilir; bahsi geçen tüm asal sayı çiftlerin toplamı k değişken olmak üzere p ve p' lerin toplamıdır).
4((m-1)! + 1) \equiv -m \pmod {m(m+2)} durumunda bir ikiz asal sayı çiftidir.        Bunca bilgi sizi sıkmış olabilr ama yapabilecek bişey yok malesef ama size belki bu konuyla ilgili bir genel kültür bilgisi verebilirim işte o bilgi :
2005 yılına gelindiğinde bilinen en büyük ikiz asal sayı çifti 16869987339975 · 2171960 ± 1 dir. Macar Zoltán Járai, Gabor Farkas, Timea Csajbok, Janos Kasza ve Antal Járai tarafından 2005 yılında bulunmuş olup 51779 haneli sayılardır. İsterseniz ilk  35 asal çiftini verelim incelersiniz isterseniz.                 
(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619), (641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823), (827, 829), (857, 859), (881, 883)

Riemann Hipotezi

  Riemann Hipotezi

    
          Arkadaşlar artık buralarda biraz sıkılabilirsiniz çünkü artık iyice soyutlaşmaya başladı konumuz şimdi sırayla 2 tane hipotezimiz var bu konuyla ilgili bunların 1. si riemann hipotezi. işte hipotezin detayları.                            Riemann hipotezi, matematik alanında ilk kez 1859 yılında Bernhard Riemann tarafından ifade edilmiş fakat günümüze kadar çözülememiş problemlerden biridir.
Bazı pozitif tamsayıların kendilerinden küçük ve 1'den büyük tamsayıların çarpımı (örn. 2, 3, 5, 7, ...) cinsinden yazılamamak gibi bir özelliği vardır. Bu tür sayılara Asal sayılar denir. Asal sayılar, hem matematik hem de uygulama alanlarında çok önemli rol oynar. Asal sayıların tüm doğal sayılar içinde dağılımı bariz bir örüntüyü takip etmemektedir ancak Alman matematikçi Riemann, asal sayıların sıklığının;
s ≠ 1 olmak koşuluyla tüm s karmaşık sayıları için
\zeta(s) = 1 + 1/2^s + 1/3^s + 1/4^s + ...
= \sum_{n=1}^\infin \frac{1}{n^s}
biçiminde belirtilen ve Riemann Zeta Fonksiyonu olarak bilinen fonksiyonun davranışına çok bağlı olduğunu gözlemledi. Riemann hipotezinin iddiasına göre
\zeta(s) =  0
denkleminin tüm çözümleri karmaşık düzlemde bir doğru üzerinde yer almaktadır. Daha kesin bir söyleyişle, bu denklemin tüm karmaşık sayı çözümlerinin gerçel kısımlarının ½ olduğu tahmin edilmektedir. Bu iddia ilk 1.500.000.000 çözüm için sınanmıştır. Bu iddianın her çözüm için doğru olduğunun ispatlanabilmesi halinde asal sayıların dağılımı ile ilgili çok önemli bilgiler edinmek mümkün olacaktır.

Goldbach Hipotezi

    Goldbach Hipotezi   

               İlk hipotezimizi sağ salim atlattıktan sonra gelelim ikinci hipotezimize bu daha heyecan verici bi hipotea ben ilk baktığımda hoşuma gitti umarım sizde beğenirsiniz.                                                                                Sayılar kuramında Goldbach sanısı, "2'den büyük her çift sayı, iki asal sayının toplamı şeklinde yazılabilir" iddiasıdır. Çözülememiş en eski matematik problemlerinden biridir. Bilgisayarda yapılan deneyler tarafından çok büyük sayılara kadar doğrulandığı halde henüz genel kabul görmüş bir ispatı yoktur.                                                                                                                                                               Temel olarak bakacak olursak bu proje matematiğin en temelindeki bilgileri başlangıç noktası olarak görmüştür. toplama işlemini…
Goldbach’ın bu hipotezinden yola çıkılarak yapılan ikinci saptamaya uygulanabilirliği açısından daha çok sahip çıkılmıştır. Çünkü akıldan hesaplanma kolaylığı sınırını ilerlettikçe, üç sayının toplamıyla uğraşmak, iki sayının toplamıyla uğraşmaktan daha zor ve çetrefilli bir hal alacaktır.
Yapılan açıklamanın pek de karmaşık olmayan sayılarla verilmiş bir örneğini aşağıda görebiliriz:
6 = 3 + 3
8 = 3 + 5
10 = 3 + 7
12 = 5 + 7
14 = 3 + 11
16 = 3 + 13
18 = 5 + 13
20 = 3 + 17
22 = 3 + 19
24 = 5 + 19
26 = 3 + 23
28 = 5 + 23


. . .                            Arkadasalr şimdi konuyu daha ıyı anlamak ıçin bi video izleyelim                                                  http://www.youtube.com/watch?v=390X4E7zAOo